BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
A. Pendahuluan
Modul ini terbagi atas tiga
kegiatan belajar. Kegiatan belajar I,
membahas tentang bentuk pangkat bilangan negatif. Pada kegiatan belajar II akan dipelajari
tentang bentuk akar dan pangkat pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat
pecahan,hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya,
menyederhanakan bentuk akar, operasi aljabar pada bentuk akar dan merasionalkan
penyebut. Pada kegiatan belajar III
membahas tentang logaritma, pengertian logaritma dan sifat-sifat
logaritma. Dalam mempelajari modul ini
siapkan buku penunjang:
a. Osdirwan Osman, Drs.,M.Si. 2007. Matematika SMA 1A,cetakan
pertama.Penerbit Arya Duta.
b. Tim penyusun. 2005. Matematika untuk SMA 1A, Penerbit
IntanPariwara.
B. Pokok Bahasan
Bentuk Pangkat, Akar, dan
Logaritma.
C. Standar Kompetensi
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan
logaritma.
D. Kompetensi Dasar
1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma
2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan
pangkat, akar, dan logaritma.
E. Waktu
Untuk mempelajari modul ini diperlukan waktu 18 x
45”.
F. Jumlah Kegiatan
Modul ini berisi tiga pokok kegiatan belajar yaitu
kegiatan belajar I, kegiatan belajar II dan kegiatan belajar III .
G. Petunjuk Belajar
1. Siapkan buku penunjang
seperti disebut di atas.
2. Pelajari dengan seksama modul ini bila perlu
siapkan alat tulis untuk membuat catatan tersendiri (bila diperlukan).
3. Bila anda telah menguasai modul ini dengan
baik, kerjakan latihan beserta tugasnya.
4. Jika anada menemukan kesulitan dalam
mempelajari modul ini, tanyakan pada teman dan
diskusikan atau tanyakan pada
Bapak/Ibu guru.
H. Indikator Pencapaian hasil belajar
1. Siswa
dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
2. Siswa dapat mengubah bentuk
akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.
3. Siswa dapat melakukan operasi
aljabar pada bentuk pangkat, dan akar.
4. Siswa dapat merasionalkan
bentuk akar.
5. Siswa dapat mengubah bentuk
pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.
6. Siswa dapat melakukan operasi
aljabar dalam bentuk logaritma.
7. Siswa dapat menentukan syarat
perpangkatan, penarikan akar dan logaritma
8. Siswa dapat membuktikan
sifat-sifat sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
KEGIATAN BELAJAR I
PANGKAT BILANGAN NEGATIF
Kalian telah mengenal arti pangkat
bulat positif pada suatu bilangan real.
Selanjutnya akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat,
yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan pangkat negatif.
Bagaimana arti pangkat bulat positif ?
Jika a € R dan n € bilangan bulat
positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis an yaitu:
An = a x a x a x ....x a, n buah faktor
A disebut bilangan pokok atau basis dan n
disebut pangkat eksponen. Untuk n = 1,
maka a1 = a
Sifat-sifat bilangan pangkat
positif;
Jika m, n € A dan a
€ R, maka:
- am
x an = a m+n
- am
: an = am-n, m>n
- (am)n =
amxn
- (a x b)n =
an x bn
- (a : b)n =
an : bn
Pembuktian Sifat-sifat bilangan pangkat positif
|
No.
|
Sifat-sifat
|
Bukti
|
Contoh
|
|
1.
|
am x an = a m+n
|
am x an = (a x a x a x…x a) x (a x a x a
x…x a)
m faktor n factor
= a x a x a x a x a ……x a
(m + n) faktor
= am+n
|
a. 23
x 25 = 23+5=28
b. a4
x a5 = a4+5 = a9
c. (2x
+ 3)2 (2x + 3)3
=
(2x + 3)2+3
=
(2x + 3)5
|
|
2.
|
am : an = am-n,
m>n
|
am am-n+n am-n . an
an
an = an = an =
am-n . an = am-n . 1
= am-n
|
a. 36
– 34 = 36-4 = 32
b. (a-1)5
(a-1)2 = (a-1)3
|
|
3.
|
(am)n = amxn
|
(am)n = am x am x am
x …(am)
n faktor
= (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a
x …)
m faktor m faktor
n faktor
= a x a x a x a x a = ... ...
... x a
(m x n ) faktor
= (a)mn
|
a. (23)4 = (2)3x4=
212
b. (x2)3 = (x)2x3
= x6
|
|
4.
|
(a x b)n = an
x bn
|
(a x b)n = (a x b) x (a x b) x….x (axb)
n factor
= (a x a x …x a) x (b x b x … x b)
n faktor n faktor
= an x bn
|
a. (2 x 3)4 = 24 x 34
b.(a2 x b3)4
=a8 x b12
|
|
5.
|
( a )n = an
b bn
|
( a )n = a/b x a/b x a/b x …x a/b
b n faktor
= a x a x a x … x a , n faktor
b x b x b x … x b , n factor
= an
bn
|
|
Bagaimana Arti Pangkat Nol
dan Bulat negatif ?
Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta
sifat-sifatnya, sekarang kita akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya
yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif .
Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk
pangkat bulat positif.
Pengertian Pangkat Nol
Untuk setiap a € R, maka ao = 1 (oo tidak didefinisikan)
Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat
positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.
ao . an
= ao+n = an bagilah kedua ruas dengan an
sehingga diperoleh: ao+n = an
an an
ao . an
=
an
an an
ao
(1) =
1
ao =
1
Pengertian
pangkat bulat negatif
Jika a € R , a ≠ 0 dan n € bilangan positif, maka a-n . 1 =
1 dan a-n = 1
a-n an
dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan
menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif dan nol yaitu sebagai berikut:
an . a-n = an+(-n)
an
. a-n = ao
an . a-n = 1
bagilah kedua ruas dengan
an , sehingga diperoleh:
an . a-n
= 1
→ an . a-n = 1
→
1 . a-n = 1
→ a-n = 1
an an an an an an
Contoh
1. Tulislah
dalam bentuk pangkat bulat positif !
a. 3-2
b. (0,2)-3
c. (x
+ y)-3
d. (2a
– 5b)-4
Jawab:
a. 3-2 = 1 b. (0,2)-3 = 1 c. (x + y)-3 = 1
32 (0,2)3 (x +
y)3
d. (2a – 5b)-4 = 1
(2a – 5b)4
1. Berikan
sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !
ab-n = 1 b. 1
= a-1 + b-1
abn
a + b
Jawab:
a. 2
. 3-2 = 2 dan 1
= 1 = 1
32 2.32 2. 9 18
= 2
9
Jadi 2 . 3-2 ≠ 1
2.32
b.
1 = 1 2-1 + 4-1 =
½ + ¼
2 +
4 6 dan = ¾
Jadi . 1 ≠
2-1 + 4-1
2 +
4
RANGKUMAN
1. Jika
a bilangan real dan n bilangan bulat posotif, maka a pangkat n
atau pangkat n dari a ditulis
an yaitu: an = a x a x a x ... x a yang terdiri dari n buah faktor.
a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.
2.
Sifat-sifat bilangan pangkat positif;
Jika m, n € A dan a
€ R, maka:
am x an = a m+n
am : an = am-n,
m>n
(am)n = amxn
(a x b)n
= an x bn
(a : b)n
= an : bn
3. Untuk setiap a € bilangan
real, maka a0 = 1
00 tidak didefinisikan
4. Jika a € bilangan
real, a ≠ 0 dan n
€ bilangan positif, maka
a-n. 1 = 1
dan a-n = 1
a-n an
TES KEGIATAN BELAJAR 1
Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1,
silahkan kerjakan soal-soal di bawah ini !
1. Dengan
menggunakan sifat am . an = a m+ n,
sederhanakanlah bentuk berikut !
a. (0,25)3
(0,25)4 b. 3x y4 x2 y6 c.
(2x2) (3x3) (4x4)
2. Dengan
menggunakan sifat (am)n = amn, sederhanakanlah
bentuk-bentuk berikut ¡
a. (23)4 b. z3 (z2)3 c. 3x2 (x2)2 (x3)3
3.
Dengan menggunakan sifat ( a . b)n = an . bn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
a. (2 . 5)4 b. (4 a2)3 c. (m3 . n4)5
4. Dengan
menggunakan sifat ( a )n
= an
b bn
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !
a. ( 3/2)4 b. (x2/y3)2 c. (ab2/c3d3)2
5.
Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan
berikut salah !
a. am
x an = a m+n
b. (am)n = amxn
( a )n
= an
c. b bn
6.
Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif !
a. (x . y-5)(x . y)-5 b. (2ab2)-3 (3a2b)-2
7.
Dengan menggunakan sifat am : an = am-n
sederhanakanlah bentuk berikut:
a. a-3 b. 4p-2 q-5
a-5 2p-7 q-2
KUNCI JAWABAN
1.
a. (0,25)7 b. 3x3y10 c. 12x9
2.
a. 212 b. z9 c. 3x15
3.
a. 24.54 b. 64a6 c. m15
n20
4.
a. 81/16 b. x4 c. a2 . b4
Y6 c6 d6
5. Kebijakan guru
6. a. ___1___ b. 1
X4 .
y10
72 a6
b8
7. a. a2 b. 2p5
Q3
KEGIATAN BELAJAR 2
BENTUK AKAR
Pada materi sebelumnya, anda telah
mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta operasinya. Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat
akan diperluas sampai bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat
bulat berpangkat pecahan.
Pengertian bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang
dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, perbandingan dua bilangan bulat a
dan b dengan b 0 (ditulis a/b) atau
sebagai bentuk desimal yang berakhir/berulang secara periodik.
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai
perbandingan dua bilangan bulat !
a.
6 b. -30 c. 25% d. 0,4 e.
√4
Jawab:
a.
6 = 12 b. -90 .
2 3
c. 2
5 = ¼
d. 0,4
= 4
100
10
e.
√4 = 2 = 2/1
A. Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
Beserta Sifat-sifatnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut !
22 = 4 maka 2
= √4
23 = 8 maka 2
= 3√8
24 = 16 maka
2 = 4√16
25 =
32 maka 2 = 5√32
Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku
hubungan a1/n = n√a
Pangkat bilangan pecahan merupakan
perluasan dari pangkat bilangan bulat.
Mengakibatkan sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat
bilangan pecahan atau bentuk akar. Jika
a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari
atau sama dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut:
Bentuk Pangkat Pecahan Bentuk Akar
- a1/m x a1/n = a1/m + 1/n = a n+m ↔ m√a x n√a = mn√an + m
mn
- a1/m : a1/n = a1/m-1/n = an-m ↔ m√a : n√a = mn√an - m
mn
3. (a1/m)1/n = a1/m
x 1/n = a1/mn
↔ n√a
. m√a = mn√a
4. (ab)1/n = a1/n x
b1/n ↔ n√ab = n√a
x n√b
- (a/b)1/n = a1/n
b1/n
↔ n√a/b = n√a
n√b
__________________________________________________________________________________
Sifat-sifat yang lain:
- a-1/n = ( a1/n)-1 = 1 = 1
a1/n n√a
- am/n = (a1/n )m = ( n√a)m atau
am/n = (am)1/n = n√am
8. ( √x )2 = x
9. √x y =
√x . √y
10. √x/y =
√x/√y
Contoh;
1.
Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk berikut kemudian nyatakan ke dalam bentuk akar ¡
a.
a½ x a⅓ b. ( a ⅔)¾
\Jawab:
Jawab:
a½ x a⅓
=
a½+⅓ = a7/12 =
12√a7
( a ⅔)¾ = a⅔
x ¾ = a½ = √a
c a¾
a⅔
Jawab:
a¾
a⅔ =
a¾ - ⅔ = a1/12 =
12√a
2.
Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk
berikut ¡
¼
a3
b-2
__________
a-1 b2
Jawab
¼
a3
b-2
__________ = (a3 – (-1) b-2-2)¼ =
(a4 b-4)¼ = ab-1 = a/b
a-1
b2
B.
Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat
Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat
dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar. Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan
pengertian dasar bentuk akar kuadrat.
Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat
|
NO.
|
Sifat-sifat
|
Bukti
|
Contoh
|
|
1.
|
(√x)2 = x
|
√x = a
↔ x = a2
Maka (√x)2 =
(a)2 = x
|
a.
(√5)2 = 5
b.
(√2a)2 = 2a
c.
(√x + 1)2 = x +
2√x + 1
|
|
2.
|
√xy = √x . √y
|
√x
= a ↔
x = a2
dan
√y = b
↔ y = b2, maka
√xy
= √a2 . b2
= √(ab)2 =
a b = √x . √y
|
 √48 = √16 x3 = √16 x √3
= 4√3
4√150
= 4√25 x 6
= 4 √25 x √6
= 4 (5) x √6
= 20√6
|
|
3.
|
√x/y = √x
√y
|
√x = a Jika dan hanya jika x = a2
√y = b Jika dan hanya jika y = b2
Maka,
√x/y = √a2/b2 =
√(a/b)2
= a
= √x
b √y
|
√64/49 = √64 = 8
√49 7
|
|
4.
|
n√an
= (an)1/n = a
,
a ≥0
|
Silahkan
buktikan
Sebagai latihan!
|
3√8 = (8)⅓
= (23)⅓
= 23/3
= 1
|
|
5.
|
n√an b = n√an
x n√b
= a n√b,
A dan b ≥0
|
Silahkan
buktikan
Sebagai latihan!
|
√72 = √36 x 2 = √36 x √2
= (62)1/2
x √2
= 6 √2
|
C.
Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat
Dengan menggunakan sifat pada bilangan
real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka kita dapat melakukan
operasi aljabar pada bentuk akar.
Operasi aljabar yang dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan,
perkalian, dan pembagian. Operasi
aljabar pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.
1.
Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk
akar
Jika a , b, dan c anggota bilangan real,
maka a√c
+ b√c = (a+b)√c
dan
a√c
- b√c =
(a-b)√c
Pembuktian sifat penjumlahan dan
pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real. Sifat ini berlaku pada bilangan rasional
atau irracional sebab kedua bilangan itu
termasuk bilangan real.
a√c
+ b√c =
(a+b)√c (sifat distributif
perkalian terhadap penjumlahan)
a√c - b√c
= (a-b)√c (sifat distributif perkalian terhadap
pengurangan)
Rumus-rumus yang dapat digunakan pada
operasi aljabar adalah sebagai berikut:
1. a√c +
b√c = (a+b)√c
2. a√c -
b√c = (a-b)√c
3. b n√ a x d n√
c =
bd n √ac
4.
b n√ a : d n√ c = b/d
n √a/c
n√ a
dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif
lebih dari satu atau sama dengan dua.
Contoh
Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡
1.
10 √3 + 2 √3
- 5 √3
2.
4 √72 + 3 √50 - 2√18
3.
p √a - q √a
+ r √a
4.
2 √4 x 6 √3
5.
10 √32 : 2 √2
Jawab
1.
10 √3 + 2 √3
- 5 √3 =
(10+2+5)√3 = 17 √3
2.
4 √72 + 3 √50 - 2√18
= 4 √36 x 2 + 3
√25 x 2 – 2 √9 x 2 = 4(6) √2 +
3(5) √2 - 2(3)√2
= 24√2
+ 15√2 - 6 √2
= (24+15-6) √2 = 33
√2
3.
p √a - q √a
+ r √a = (p –
q + r) √a
4.
2 √4 x 6 √3
= (2 x 6)√12 = 12
√4 x 3 =
(12 x 2) √3 = 24 √3
5.
10 √32 : 2 √2
= (10/2) √32/2 = 5
√16 =
5(4) = 20
2. Perkalian Bentuk Akar
Operasi Perkalian bentuk akar
Jika x ,
y anggota bilangan real positif, maka:
√
x . √y
= √xy
Contoh
Sederhanakanlah !
1.
√50 x √2 2. √32
x √12,5 3. √½
x √50 4. √2 x
√5 x √10
Jawab
1.
√50 x √2 =
√(50 x 2) = √100
= 10 2. √32 x
√12,5 = √(32 x 12,5)
= √400 = 20
3.
√½ x √50
= √(½ x 50) =
√25 = 5 4. √2
x √5 x √10
= √(2 x 5 x 10) = √100 = 10
3.
Pembagian Bentuk Akar
Operasi Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif,
maka √x/y = √x
√y
Contoh
Sederhanakanlah !
1. √108 2. √112,5 3. √12a2 4. √xy4
√27 √12,5 √3a2 √x3y2
Jawab
1. √108 2. √112,5 3. √12a2 4. √xy4
√27 √12,5 √3a2 √x3y2
= √108/27 =
√(112,5/12,5) =
√12/3 a2 =
√y2/x2
= √4 =
√9 =
√4 a2 = √y2
= y
= 2 =
3 =
2ª
√x2 x
D.
Merasionalkan Penyebut
Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan
penyebut bentuk akar, maka untuk menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita
dapat menghilangkan bentuk akar penyebutnya.
Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan penyebut.
Untuk merasionalkan penyebut kita harus
mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan faktor yang sama yang dapat
merasionalkan penyebut. Untuk memudahkan bagaimana cara
merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:
1.
√a x √a akan
menghasilkan bilangan rasional a
2.
( a + √b)
x ( a -
√b) akan menghasilkan bilangan
rasional a2 - b
3.
(√a + √b)
x (√a - √b)
akan menghasilkan bilangan rasional a
- b
Pembuktian:
1.
√a x √a
= √a2 = a
2.
( a + √b)
x ( a - √b)
= a2 – a √b + a √b
- (√b)2 = a2
- b
3
(√a + √b)
x (√a - √b) =
(√a )2 - √a . √b
+ √a . √b - (√b)2 = a –
b
Contoh:
Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar
berikut!
1.
√5 . √5 2. (√8
+ √2) (√8 - √2 ) 3. (2 + √3) (2 - √3)
4.
(2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5)
Jawab:
1.
√5 . √5 = 5 2. (√8
+ √2) (√8 - √2 )
= 8 – 2 = 6
3.
(2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1 4. (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 = -33
Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?
1.
Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).
2.
Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar
yang sama, yang dapat merasionalkan
penyebut.
Perhatikan bentuk-bentuk berikut!
1. a = a .
1
2. √a . √b =
1
√ab
√b √b
√b √b b
= a . √b
= a √b
√b √b
b
3. ____a___
= ____a___ .1 4. ____a___ = ____a___
.
1
√b - √c
√b - √c
√b +
√c √b
+ √c
= ____a___ . √b
+ √c
= ____a___ . √b
- √c √b -
√c √b +
√c
√b + √c
√b - √c
= ____a___ (
√b + √c )
b
- c
= ____a___ (√b
- √c )
b - c
5. √a -
√b = √a - √b . 1
√a + √b √a + √b
= √a
- √b . √a - √b
√a + √b √a -
√b
= a + b -
2√ab
a - b
Contoh 1
Rasionalkan penyebut bentuk pecahan
berikut !
a.
√3 b 5 c 6
d . 5
e. 6
√4 √7 6 + √6 5 - √5 √5 + √2
f.
6 g.
√8 - √2 h.
√6 + √2
√6 - √2 √8 +
√2 √6 - √2
Jawab
a.
√3 . √4 =
√12 = 2
√3 = 1 √3
√4 √4 4 4 2
b 5 . √7
= 5 √7
√7 √7 7
c. 6
. 6
- √6 = 6
( 6 - √6 )
= 6 ( 6 -
√6 ) = 1 ( 6 -
√6 )
6 + √6 6 - √6 36 - 6 30 5
d .
5 . 5 +
√5 = 5 (5 +
√5) = 5 (5 +
√5) = 1 (5 +
√5)
5 - √5 5 +
√5 25 - 5 20 4
e.
6 . √5 - √2 =
6 (
√5 - √2 )
= 6 (
√5 - √2
) = 2
( √5 -
√2 )
√5 + √2
√5 - √2
5 - 2
3
f.
6 . √6 +
√2 = 6
(√6 +
√2) = 6 (√6
+ √2) =
2 (√6 +
√2)
√6 - √2
√6 + √2
6 - 2 3
g. √8 - √2
.
√8 -
√2 = 8
-4-4+2 = 2 = 1
√8 + √2
√8 - √2
8 - 2
6 3
h.
√6 + √2 . √6 +
√2 = 6
+ 2 = 10 = 5
√6 - √2
√6 + √2
6 - 2
4 2
Contoh 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar
di bawah ini
H G
E F Hitung panjang
AG ¡
D C
A B
(√7 - √2) cm
Jawab
AG adalah panjang diagonal ruang
AG = a √3 = (√7 -
√2) √3 = √21 - √6
Jadi panjang AG = (√21 - √6) cm
RANGKUMAN
1. Bentuk
akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya
tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.
Misal √2,
√3, √5 adalah bentuk akar dan
√4, √9, √16 adalah bukan bentuk
akar.
2. Oprasi
Aljabar pada bentuk akar
a. a√c + b√c
= (a+b)√c
b. a√c -
b√c = (a-b)√c
c. b n√ a x d n√
c =
bd n √ac
d. b n√ a : d n√
c =
b/d n √a/c
e.
√ a dan n√ c ada nilainya dan n bilangan bulat positif
lebih dari satu atau sama dengan dua.
3. Merasionalkan Penyebut
1. a =
1
2. √a . √b =
1
√ab
√b
√b √b b
= a . √b
= a √b
√b √b
b
3. ____a___
= ____a___ .1 4. ____a___ = ____a___
.
1
√b - √c
√b - √c
√b +
√c √b + √c
= ____a___ . √b
+ √c
= ____a___ . √b
- √c
√b - √c
√b + √c
√b + √c
√b - √c
= ____a___ (
√b + √c )
b - c
= ____a___ (√b
- √c )
b - c
5. √a -
√b = √a
- √b . 1
√a + √b √a + √b
= √a
- √b . √a - √b
√a + √b
√a - √b
= a
+ b - 2√ab
a - b
TES KEGIATAN BELAJAR 2
Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar !
1.
Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini !
a. √48 b.
√1/75
2.
Sederhanakan bentuk berikut !
a. 5√3
+ √12 -
2√27 b. 4√3 x 3√6
3. Rasionalkan
bentuk-bentuk berikut!
a. 3 b. √6 c
5 d. √3
+ √2
2
- √3 2√3
+ 3√2 √7 +
√2 √3 - √2
e. 2√3
+ 3
2√3 - 3
4.
Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B.
Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm
dan luas segitiga tersebut
adalah 1,00 cm2 . Tentukan panjang sisi lainnya!
5. Sebuah
balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm. Tentukan panjang diagonal ruang balok
tersebut!
Kunci
1.
a. 4√3 b.
1 √3
5
2.
a. √3 b.
36√2
3.
a. 9
b. √3 - √2 c. √7
- √2 d. 7 + 2√6
e. 7 + 4√3
4. (√5
- √3) cm 5. 3√14 cm.
KEGIATAN BELAJAR 3
LOGARITMA
1.
Pengertian Logaritma
Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari
kebalikan dari perpangkatan. Bentuk an
dikenal sebagai bilangan berpangkat. a
disebut basis dan n disebut pangkat atau eksponen. Jika nilai a dan
n diketahui, maka nilai b = an
dapat dihitung dan b disebut numerus. Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n
apabila yang diketahui nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan
24 = 16, didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang
diperlukan agar bilangan berpangkat 2n = 16.
4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis
4 = 2log 16.
Dengan demikian secara umum Logaritma dapat
didefinisikan sebagai berikut:
alog b = c
↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a,
b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma
Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan
pokoknya, maka dianggap bilangan pokoknya adalah 10.
Contoh:
10log 10 = log 10 = 1 dan 10log 100 = log 100 = 2
Untuk memahami, Perhatikan hubungan bentuk
logaritma dan bentuk pecahan dari tabel dibawah ini!
|
NO.
|
Bentuk Logaritma
|
Bentuk Pecahan
|
Hasil
|
|
1
|
4log 8 = a
|
4a =
8
|
a = 3/2
|
|
2
|
3log 27 = b
|
3b = 27
|
a = 3
|
|
3
|
2log 1 = c
64
|
2c = 1/64
|
c = -6
|
|
4
|
3log 3√3 = d
|
3d = 3 3
|
d = 3/2
|
|
5
|
5log 3√ 5 = e
|
5e = 3 5
|
e = 1/5
|
|
6
|
⅓ Log 81 = f
|
(⅓)f = 81
|
f = -4
|
|
7
|
1000log √10 = g
|
1000g = 10
|
g = 1/6
|
|
8
|
1/49 log 1/ 7 = h
|
(1/49)h = 1/7
|
H = ¼
|
2. Sifat-sifat
Logaritma
Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya
akan dipelajari sifat-sifat yang berlaku pada logaritma. Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan sifat dasar logaritma.
2.1 Logaritma dari perkalian
Logaritma dari perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan
logaritma dari masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:
alog MN = alog m + alog
n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = an ↔ alog
M = p dan N = aq ↔
alog N = q
sehingga MN = ar ↔ alog
MN = r
Karena ar = MN,
maka alog MN = r = p +
q =
alog M + alog N ( terbukti )
2.2 Logaritma dari pembagian
Logaritma
dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang dikurangi
logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut:
alog(M : N)
= alog m – alog
n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = an ↔ alog
M = p dan N = aq ↔ alog
N = q sehingga M:N = ar ↔ alog
M : N = r
Karena ar = M :
N, maka alog ( M : N ) =
r = p - q
= alog M - alog
N ( terbukti )
2.3 Logaritma dari perpangkatan
Logaritma
dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan pangkat dengan
logaritma bilangan pokok.
alog Mp
= p. alog M, dengan a ≠ 0,
dan a, M, p > 0
2.4 Mengubah basis logaritma
Logaritma
suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan logaritma
dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut:
Mlog N = aLog N
aLog M , dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M, N > 0
Pembuktian:
Misal M = ap ↔ alog
M = p
N = aq ↔ alog
N = q
Maka MLOG
N =
ap log aq =
q .ap log a = q .ap log (ap)1/p = q/p
= alog N
alog M (terbukti)
2.5. Perpangkatan dengan
logaritma
Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo
sebuah bilangan (M) dengan basis sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan
sebagai berikut:
alog M
a = M , dengan syarat a ≠ 1
dan a, M > 0
Pembuktian:
Misal alog M = p ↔
ap = M
Maka = alog M
a = ap
=
M (terbukti)
Contoh:
1. Dengan
menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai dar:
a.
log 40 + log 25 b. 2log 4 + 2log 8 c. Jika log 4 = a dan log 3 = b
tentukan
log 48
Jawab.
a. log 40 + log 25 = log (40 x 25) = log 100 = 2
b. 2log
4 + 2log 8 = 2log (4 x 8) = 2log 32 = 5
c.
log 48 = log (4 x 4 x 3) = log
4 + log 4 + log 3 = a + a + b = 2a + b
2. a. Jika log 2 = 0,3010 dan
log 3 = 0,4771, dengan
menggunakan sifat logaritma pembagian
Tentukanlah
nilai dari log 1,5
Jawab
log 1,5 = log 3/2 = log 3 –
log 2 = 0,4771 – 0,3010 = 0,1761
b. Dengan menggunakan sifat logaritma pembagian
tentukan nilai 2log 14 – 2log
7
Jawab
2log 14 – 2log 7 = 2log
(14/7) = 2log 2 = 1
3. a. Jika log 2 = 0,3010 dan
log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48
Jawab.
a. log 48 = log (24 x 3) = log 24
+ log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 (0,3010) + 0,4771
= 1,2040 + 0,4771
=
1,6811
4. Jika 2log 3 = a dan 3log
5 = b, dengan mengubah basis logaritma tentukan nilai 6log 15!
Jawab.
6log 15 = log 15 = log
(3 x 5) = 3log 3 + 3log 5 = 1 + b = a
( 1 + b)
log 6 log (3 x 2) 3log 3 + 3log
2 1
+ 1/a 1 +
a
5. Dengan
menggunakan sifat dan perpangkatan logaritma, tentukan nilai dari
4 log 64
4
Jawab.
4 log 64
4
= 64
RANGKUMAN
Definisi logaritma:
alog b = c
↔ ac = b, dengan syarat a ≠ 1 dan a,
b > 0
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma
Sifat-sifat logaritma:
1. alog M.N = alog
m + alog n, dengan syarat a
≠ 1 dan a, M, N > 0
2. alog(M :
N) = alog m – alog n, dengan syarat a ≠ 1 dan a, M, N >
0
3. alog
Mp = p. alog M, dengan a ≠ 0, dan a, M, p
> 0
4. Mlog N = aLog N
aLog M ,
dengan syarat a, M ≠ 1 dan a, M,
N > 0
alog M
5. a
= M , dengan syarat a ≠ 1
dan a, M > 0
6. alog b . b
log c . c log d = alog d
7. an
Log bm = m alog b
n
8. alog
1 = 0
9. alog
an = n
10. alog
b =
1
blog a
TES KEGIATAN BELAJAR 3
Berilah tanda silang ( x ) pada huruf
a , b, c , d , atau e
pada jawaban yang paling benar!
1. 4log
64 + 3log 81 – ½log 8
= ....
a. 10 b. 9 c. 7 d. 6 e. 4
2. Jika
log 2 = a , maka log 5 = ....
a. a b. 1 + a c. 1 – a d. 3a e. -1
3. Jika
log 2 = a , maka log 50 = ....
a. -1 b. 2a c. 3a d. 2a – 1 e. 2 – a
4. 2log 5
4 =....
a. 0,4 b. 0,2 c. 1 d. 5 e. 25
5. Jika
log (2x + 6) = 2, maka x = ....
a.
46 b. 47 c. 48 d. 49 e. 50
6. alog
(1/b) . blog (1/c) . clog(1/a) =....
a. -1 b. 1 c. 1 d.
1 + abc e. 1 – abc
abc
7. Bentuk
sederhana dari log 8 + log 1,25 adalah….
a. 100 b. 10 c. 3 d. 2 e. 1
8. Jika
3log 5 = p, maka nilai 5log √3 adalah….
a. 4/p b. 2/p c. 1/p d. ½p e. ¼p
9. Nilai
dari 3log 1 . 5log 8 . 2log √3
25
a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3
10. Jika
2a = 3 , maka 3log 12 = ....
a. 2
+ a b. 2 + a c.
2 + a d. 1 + 1 e. 2 + 1
2 a 1 + a a a
11. Jika 3log 5 = p, maka nilai 5log 3 = ....
a. ¼p b. ½p c. 1/p d.
2/p e. 4/p
12. Nilai
x yang memenuhi dari 5log
(0,2) = x adalah....
a. -2 b. -1 c. 2 d. 3 e. 4
13. Nilai
x dari 2log 5√8 =
x adalah....
a. -5/3 b. -3/5 c. 3/5 d. 5/3 e. 5/2
14. Nilai
dari 5log 150 – 5log
24 + 5log 4 = ....
a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1
15. Jika 7log 2 = a dan 2log
3 = b, maka nilai 6log 98 =….
a. a
+ 2 b. a + 2 c.
a - 2 d. a
+ 1 e. a + 2
a(1+ b) 1 + ab a(1+b) a(1+b) a(1-b)
KUNCI JAWABAN
1. a 6. a 11. b
2. c 7. e 12. b
3. e 8. d 13. c
4. e 9. b 14. d
5. b 10. b 15. a
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes
kegiatan belajar 3 ini. Kemudian gunakan
humus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi
kegiatan relajar 3.
Rumus:
Tingkat Penguasaan
= Jumlah Jawaban Anda yang
benar x 100
15
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
96 - 100 =
Tuntas istimewa
86 - 95 =
Tuntas baik sekali
81 - 85 =
Tuntas baik
75 - 80 =
Tuntas cukup
65 - 74 =
Tuntas kurang
0 - 64 =
Belum tuntas Sangat kurang
Bila tingkat penguasaan Anda mencapai ≥ 75, maka Anda dikatakan tuntas dan memahami
materi pada kegiatan belajar 3.
Hebat!. Tetapi bila tingkat
penguasaan Anda < 75, maka Anda harus
mengikuti Remedial terutama bagian yang belum dikuasai.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar